Formulario Solidi Geometrici

🔷 Cubo — lato l

Sup. laterale: S.lat = 4 · l²

Sup. totale: S.tot = 6 · l²

Volume: V = l³

Lato (da V): l = ∛V

Lato (da S.lat): l = √(S.lat / 4)

Lato (da S.tot): l = √(S.tot / 6)

Lato (da A faccia): l = √A_faccia

S.lat (da S.tot): S.lat = S.tot − 2·l²

S.tot (da S.lat): S.tot = S.lat + 2·l²

A faccia (da S.tot): A_faccia = S.tot / 6

Esempio — l = 5 cm: S.lat = 4×25 = 100 cm² | S.tot = 6×25 = 150 cm² | V = 5³ = 125 cm³ | A_faccia = 25 cm²

Esempi inversi — S.tot = 150 cm²: l = √(150/6) = √25 = 5 cm | A_faccia = 150/6 = 25 cm² | S.lat = 150−2×25 = 100 cm²

🟩 Parallelepipedo rettangolo — base a×b, altezza h

Sup. laterale: S.lat = 2(a+b) · h

Sup. totale: S.tot = S.lat + 2·a·b

Volume: V = a · b · h

Altezza (da V): h = V / (a·b)

Altezza (da S.lat): h = S.lat / (2(a+b))

Altezza (da S.tot): h = (S.tot − 2ab) / (2(a+b))

Base b (da S.tot): b = (S.tot − 2·a·h) / (2·(a+h))

S.lat (da S.tot): S.lat = S.tot − 2·a·b

S.tot (da S.lat): S.tot = S.lat + 2·a·b

Esempio — a=5, b=3, h=4 cm: S.lat = 2(5+3)×4 = 64 cm² | S.tot = 64+30 = 94 cm² | V = 5×3×4 = 60 cm³

Esempio inverso — a=8, b=9, S.tot=552 cm²: h = (552−2×72) / (2×17) = 408/34 = 12 cm → V = 8×9×12 = 864 cm³

Esempio inverso — a=5, h=4, S.tot=94 cm²: b = (94 − 2×5×4) / (2×(5+4)) = (94−40) / 18 = 54/18 = 3 cm

🔶 Prisma a base generica — A_b, p_b, altezza h

Sup. laterale: S.lat = p_b · h

Sup. totale: S.tot = S.lat + 2·A_b

Volume: V = A_b · h

Altezza (da V): h = V / A_b

Altezza (da S.lat): h = S.lat / p_b

Perim. base (da S.lat): p_b = S.lat / h

Area base (da V): A_b = V / h

Area base (da S.tot): A_b = (S.tot − p_b·h) / 2

S.lat (da S.tot): S.lat = S.tot − 2·A_b

Esempio — A_b=24, p_b=20, h=5 cm: S.lat = 20×5 = 100 cm² | S.tot = 100+48 = 148 cm² | V = 24×5 = 120 cm³

🔷 Base rombica — diagonali d₁ e d₂

Area base: A_b = d₁·d₂ / 2

Lato rombo: l = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)

Perimetro base: p_b = 4 · lato

Altezza (da V): h = V / A_b

Esempio — d₁=12, d₂=16, V=480 cm³: A_b = 12×16/2 = 96 cm²
lato = √(6²+8²) = √100 = 10 cm
p_b = 4×10 = 40 cm
h = 480/96 = 5 cm
S.tot = 40×5 + 2×96 = 392 cm²

⚠ Coppie pitagoriche utili: (6,8→5), (12,16→10), (10,24→13), (18,24→15)

🔁 Formule Inverse — Schema Riassuntivo

Cubo (lato l)

lato da V:l = ∛V

lato da S.lat:l = √(S.lat/4)

lato da S.tot:l = √(S.tot/6)

lato da A_f:l = √A_faccia

S.lat da S.tot:S.lat = S.tot − 2l²

S.tot da S.lat:S.tot = S.lat + 2l²

A_faccia:A_f = S.tot / 6

Parallelepipedo

h da V:h = V / (a·b)

h da S.lat:h = S.lat / (2(a+b))

h da S.tot:h = (S.tot−2ab) / (2(a+b))

b da S.tot:b = (S.tot−2ah) / (2(a+h))

S.lat da S.tot:S.lat = S.tot − 2·a·b

S.tot da S.lat:S.tot = S.lat + 2·a·b

Prisma

h da V:h = V / A_b

h da S.lat:h = S.lat / p_b

A_b da V:A_b = V / h

A_b da S.tot:A_b = (S.tot − p_b·h) / 2

p_b da S.lat:p_b = S.lat / h

S.lat da S.tot:S.lat = S.tot − 2·A_b

📋 Procedura per risolvere un problema sui solidi

1. Identifica il solido
Cubo? Parallelepipedo? Prisma? Quale base?

2. Individua i dati
Quali misure sono note? (l, a, b, h, A_b, p_b, V, S…)

3. Scegli la formula
Usa la formula che collega dato cercato ai dati noti.

4. Calcola passo per passo
Sostituisci i valori, calcola nell'ordine corretto.

5. Verifica le unità
Lunghezze → cm | Aree → cm² | Volumi → cm³

6. Problemi multi-step
Se manca la h: ricavala da V o S.tot prima di proseguire.

📦 Formulario — Solidi Geometrici