Formulario Potenze

aⁿ = a × a × … × a (n volte) | a = base | n = esponente | esempio: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

① Stessa base — prodotto

Regola: a^m × aⁿ = a^m+n

Si lascia la base, si SOMMANO gli esponenti 13³ × 13⁴ = 13³⁺⁴ = 13⁷

② Stessa base — quoziente

Regola: a^m ÷ aⁿ = a^m−n

Si lascia la base, si SOTTRAGGONO gli esponenti 6¹² ÷ 6¹⁰ = 6¹²⁻¹⁰ = 6² = 36

③ Potenza di potenza

Regola: (a^m)ⁿ = a^m×n

Si lascia la base, si MOLTIPLICANO gli esponenti (2³)² = 2^3×2 = 2⁶ = 64

④⑤ Stesso esponente

Prodotto: aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ

Quoziente: aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ

Si lascia l'esponente, si opera sulle BASI 5³ × 2³ = (5×2)³ = 10³ = 1000 · 10⁴ ÷ 2⁴ = 5⁴

Esponenti speciali

Esponente 1: a¹ = a es. 16¹ = 16

Esponente 0: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Base 1 e 0: 1ⁿ = 1 0ⁿ = 0

Perché a⁰ = 1? 7³ ÷ 7³ = 7³⁻³ = 7⁰ ma anche 343 ÷ 343 = 1
(8⁷ + 8⁸)⁰ = 1 → non serve calcolare la parentesi!

⚠ Cosa NON si può fare

Con + e − le proprietà NON valgono:
2² + 2³ ≠ 2⁵ → 4 + 8 = 12 (non 32)
3² + 4² ≠ (3+4)² → 9 + 16 = 25 (non 49)

Non confondere: 2³ = 2×2×2 = 8 (non 2×3 = 6)
(2³)² = 2⁶ (non 2⁹) · 2³ × 2² = 2⁵ (non 4⁵)

🔎 Come si risolve un'espressione con basi diverse

2³ × 8³ ÷ 16² = ?

Le basi sono diverse (2, 8, 16): le regole ① e ② non si possono usare subito. Prima di tutto guarda: che cosa hanno in comune le potenze? Ci sono due strade, e danno lo stesso risultato. Ricorda: × e ÷ si eseguono da sinistra a destra.

Metodo A — stesso esponente

2³ e 8³ hanno lo stesso esponente (3) → regola ④

12³ × 8³ = (2 × 8)³ = 16³

216³ ÷ 16² = 16³⁻² = 16¹ ora la base è uguale → regola ②

316¹ = 16

Metodo B — tutto in base 2

8 e 16 sono potenze di 2: 8 = 2³, 16 = 2⁴ → regola ③

18³ = (2³)³ = 2⁹ 16² = (2⁴)² = 2⁸

22³ × 2⁹ ÷ 2⁸ = 2³⁺⁹⁻⁸ = 2⁴

32⁴ = 16 ✔ stesso risultato!

✘ 2³ × 8³ = 16⁶
Stesso esponente: l'esponente resta 3, non si somma!

✘ 2³ × 8³ = 2⁶
Basi diverse: non si può tenere la base 2 e sommare gli esponenti.

✘ 16³ ÷ 16² = 1¹
Stessa base: la base resta 16, si sottraggono solo gli esponenti.

Potenze da conoscere

	²	³	⁴	⁵	⁶
2	4	8	16	32	64
3	9	27	81	243	729
4	16	64	256	1024	—
5	25	125	625	—	—
10	100	1000	10000	—	—

Riscrivere la base (per il metodo B) 4 = 2² 8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵ | 9 = 3² 27 = 3³ | 25 = 5²

Esempio guidato con parentesi

[(11²)³ × 11² ÷ 11⁷]²

1(11²)³ = 11⁶ potenza di potenza

211⁶ × 11² = 11⁸ stessa base, ×

311⁸ ÷ 11⁷ = 11¹ stessa base, ÷

4[11¹]² = 11² = 121 chiudo la quadra

Trucco Lavora sempre sugli esponenti e calcola il numero solo alla fine: i conti restano piccoli!

📝 Metodo per le espressioni con le potenze

1. Parentesi dall'interno
Prima ( ), poi [ ], poi { }.

2. Ordine delle operazioni
Potenze → × e ÷ (da sinistra a destra) → + e −.

3. Stessa base?
Usa ① ② ③ lavorando solo sugli esponenti.

4. Basi diverse?
Stesso esponente → ④ ⑤. Altrimenti riscrivi come potenze della stessa base (8 = 2³).

5. Ci sono + o −?
Le proprietà non valgono: calcola ogni potenza separatamente.

6. Solo alla fine il numero
Controlla: esponente 1 → la base; esponente 0 → 1.

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